Fungsi Eksponensial

 Pengertian

      Fungsi eksponensial adalah fungsi matematika yang digunakan dalam banyak situasi dunia nyata. Hal ini terutama digunakan untuk menemukan peluruhan eksponensial atau pertumbuhan eksponensial atau untuk menghitung investasi, memodelkan populasi, dan sebagainya. Pada artikel ini, Anda akan mempelajari rumus fungsi eksponensial , aturan, sifat, grafik, turunan, deret eksponensial, dan contohnya.

Apa itu Fungsi Eksponensial?

      Fungsi eksponensial adalah fungsi Matematika yang berbentuk f (x) = a ^x , dimana “x” adalah variabel dan “a” adalah konstanta yang disebut basis fungsi dan harus lebih besar dari 0. Basis fungsi eksponensial yang umum digunakan adalah bilangan transendental e, yang kira-kira sama dengan 2,71828.

Penyelesaian fungsi eksponensial 

    Seperti fungsi pada umumnya, bilangan eksponensial memiliki penyelesaian yang bergantung pada bentuk fungsinya. Berikut adalah rumus penyelesaian fungsi eksponensial:

Rumus Fungsi Eksponensial

     Fungsi eksponensial didefinisikan dengan rumus f(x) = a ^x , dengan variabel input x muncul sebagai eksponen. Kurva eksponensial bergantung pada fungsi eksponensial dan bergantung pada nilai x.

Fungsi eksponensial adalah fungsi matematika penting yang berbentuk

f(x) =a ^x

Dimana a > 0 dan a tidak sama dengan 1.

x adalah bilangan real apa pun.

Jika variabelnya negatif, fungsinya tidak terdefinisi untuk -1 < x < 1.

Di Sini,

"x" adalah variabel

“a” adalah konstanta yang merupakan basis dari fungsi tersebut.

Kurva eksponensial bertambah atau berkurang bergantung pada fungsi eksponensial. Kuantitas apa pun yang bertambah atau berkurang dengan persentase tetap pada interval teratur harus mengalami pertumbuhan eksponensial atau peluruhan eksponensial.

Pertumbuhan Eksponensial

      Dalam Pertumbuhan Eksponensial, kuantitasnya meningkat sangat lambat pada awalnya, dan kemudian dengan cepat. Tingkat perubahan meningkat seiring waktu. Laju pertumbuhan menjadi lebih cepat seiring berjalannya waktu. Pertumbuhan pesat dimaksudkan sebagai “peningkatan eksponensial”. Rumus untuk mendefinisikan pertumbuhan eksponensial adalah:

kamu = a ( 1+ r ) ^x

Dimana r adalah persentase pertumbuhan.

Peluruhan Eksponensial

     Dalam Peluruhan Eksponensial, kuantitasnya berkurang dengan sangat cepat pada awalnya, dan kemudian secara perlahan. Tingkat perubahan menurun seiring waktu. Laju perubahan menjadi lebih lambat seiring berjalannya waktu. Pertumbuhan pesat berarti “penurunan eksponensial”. Rumus untuk mendefinisikan pertumbuhan eksponensial adalah:

kamu = a ( 1- r ) ^x

Dimana r adalah persentase peluruhan.

Grafik Fungsi Eksponensial

Gambar berikut merupakan grafik eksponen x. Dapat dilihat bahwa dengan meningkatnya eksponen, kurva menjadi semakin curam dan laju pertumbuhan pun meningkat. Jadi, untuk x > 1, nilai y = f _n (x) bertambah seiring bertambahnya nilai (n).

    Dari penjelasan di atas terlihat bahwa sifat fungsi polinomial bergantung pada derajatnya. Semakin tinggi derajat suatu fungsi eksponensial , semakin tinggi pula pertumbuhannya. Fungsi yang tumbuh lebih cepat daripada fungsi polinomial adalah y = f(x) = a ^x , dengan a>1. Jadi, untuk sembarang bilangan bulat positif n, fungsi f (x) dikatakan tumbuh lebih cepat dibandingkan fungsi f _n (x).

    Jadi, fungsi eksponensial yang mempunyai basis lebih besar dari 1, yaitu a > 1 didefinisikan sebagai y = f(x) = a ^x . Daerah fungsi eksponensial adalah himpunan seluruh bilangan real R dan jangkauannya dikatakan himpunan semua bilangan real positif.

Perlu diperhatikan bahwa fungsi eksponensial meningkat dan titik (0, 1) selalu terletak pada grafik fungsi eksponensial. Selain itu, mendekati nol jika nilai x sebagian besar negatif.

Fungsi eksponensial yang mempunyai basis 10 disebut fungsi eksponensial persekutuan. Perhatikan rangkaian berikut ini:

Nilai deret ini terletak antara 2 & 3. Diwakili oleh e. Dengan menggunakan e sebagai basis dari fungsi tersebut, kita mendapatkan y = e ^x , yang merupakan fungsi yang sangat penting dalam matematika yang dikenal sebagai fungsi eksponensial natural.

Untuk a > 1, logaritma b ke basis a adalah x jika a ^x = b. Jadi, log _a b = x jika a ^x = b. Fungsi ini dikenal sebagai fungsi logaritma.

Untuk basis a = 10, fungsi ini disebut logaritma persekutuan dan untuk basis a = e, dikenal sebagai logaritma natural yang dilambangkan dengan ln x. Berikut beberapa pengamatan penting mengenai fungsi logaritma yang mempunyai basis a>1.

• Domain fungsi log hanya terdiri dari bilangan real positif , karena kita tidak dapat menafsirkan arti fungsi log untuk nilai negatif.
• Untuk fungsi log, walaupun domainnya hanya himpunan bilangan real positif, rangenya adalah himpunan semua nilai real, yaitu R
• Saat kita memplot grafik fungsi log dan berpindah dari kiri ke kanan, fungsi tersebut menunjukkan perilaku yang meningkat.
• Grafik fungsi log tidak pernah memotong sumbu x atau sumbu y, meskipun cenderung ke arahnya.

• Log _a p = α, log _b p = β dan log _b a = µ, maka a ^α = p, b ^β = p dan b ^µ = a
• Log _b pq = Log _b p + Log _b q
• Log _b p ^y = ylog _b p
• Log _b (p/q) = log _b p – log _b q

Turunan Fungsi Eksponensial

Sekarang mari kita fokus pada turunan fungsi eksponensial.

Turunan e ^x  terhadap x adalah e ^x , yaitu d( ^ex )/dx = e ^x

Diketahui bahwa fungsi eksponensial f(x) =e ^x   mempunyai sifat khusus. Artinya turunan suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri.

(yaitu) f '(x) = e ^x  = f(x)

Seri Eksponensial

Deret eksponensial diberikan di bawah ini.

Properti Fungsi Eksponensial

Grafik eksponensial suatu fungsi mewakili sifat fungsi eksponensial.

Mari kita perhatikan fungsi eksponensial, y = 2 ^x

Grafik fungsi y = 2 ^x ditunjukkan di bawah ini.

Grafik Fungsi Eksponensial untuk y = 2 ^x

Sifat-sifat grafik fungsi eksponensial jika basisnya lebih besar dari 1 diberikan di bawah ini.

• Grafik melewati titik (0,1).
• Domainnya semua bilangan real
• Kisarannya adalah y>0
• Grafiknya semakin meningkat
• Grafiknya asimtotik terhadap sumbu x karena x mendekati tak terhingga negatif
• Grafiknya bertambah tanpa batas ketika x mendekati tak terhingga positif
• Grafiknya kontinu
• Grafiknya mulus

Grafik Fungsi Eksponensial y=2 ^-x 

Grafik fungsi y=2 ^-x ditunjukkan di atas. Sifat-sifat fungsi eksponensial dan grafiknya jika basisnya antara 0 dan 1 diberikan.

• Garis melewati titik (0,1)
• Domain mencakup semua bilangan real
• Kisarannya adalah y>0
• Ini membentuk grafik menurun
• Garis pada grafik di atas tidak menunjukkan gejala terhadap sumbu x karena x mendekati positif tak terhingga
• Garis bertambah tanpa batas ketika x mendekati tak terhingga negatif
• Ini adalah grafik kontinu
• Ini membentuk grafik yang halus

Aturan Fungsi Eksponensial

Beberapa aturan eksponensial penting diberikan di bawah ini:

Jika a>0 dan b>0, maka persamaan berikut ini berlaku untuk semua bilangan real x dan y:

·         ax ^ay  = ^ax + y

·         ax /ay ^= ax - ^y

·         (a ^x ) ^y = a ^xy

·         axbx ⁼ ( ab ^) x

·         (a/b) ^x = ^ax / ^bx

·         sebuah ⁰ =1

·         a ^-x = 1/ ^ax

Contoh Fungsi Eksponensial

Contoh fungsi eksponensial adalah:

• f(x) = ^2x
• f(x) = 1/ 2 ^x  = 2 ^-x
• f(x) = 2 ^x+3

f(x) = ^0,5x

Share:

Read More

Tips Belajar Matematika

 

Tips Mudah Belajar Matematika

Buat Catatan Rumus Matematika

    Matematika tak lepas dari rumus. Bahkan, untuk menyelesaikan satu soal terdapat beberapa rumus yang dapat diaplikasikan. Agar kamu lebih mudah mempelajarinya, buat catatan rumus lengkap dengan contoh soal dan kelompokkan sesuai materi. Cara ini efektif menjaga daya ingat dan pemahaman kamu mengenai materi pelajaran.

    Adapun beberapa rumus yang paling sering digunakan dan wajib kamu kuasai, meliputi rumus diskon, bunga bank, mutasi dan kombinasi, baris dan deret aritmetika, baris aritmetika, bangun ruang, serta hitung kecepatan, waktu, dan jarak. 

Pahami Konsep Dasar 

    Menghafal rumus bukan solusi tepat untuk menyelesaikan soal matematika. Sebelum menguasai rumus dan pengaplikasiannya, kamu harus memahami konsep dasar matematika terlebih dahulu. Ketika kamu melupakan rumus, kamu masih bisa mengerjakan soal berbekal pemahaman tersebut. Sederhananya, dengan memahami konsep dasar matematika secara otomatis kamu telah menghafal rumus.  

    Selain konsep dasar, sangat penting bagi kamu untuk memahami pertanyaan. Sebagian besar siswa menganggap matematika sulit karena gagal memahami pertanyaan. Ketika kamu hendak menyelesaikan soal matematika, pastikan untuk fokus kemudian pahami pertanyaan dan jawab sesuai rumus.

 Perbanyak Latihan Soal 

    Matematika bukan pelajaran menghafal. Matematika merupakan mata pelajaran yang dapat diselesaikan dengan latihan terus-menerus. Memang tidak mudah, tetapi kamu bisa terus mencobanya dengan cara memahami konsep dasar dan mengerjakan latihan soal secara rutin. Meskipun tampak sepele, hal ini akan membuat kamu terbiasa dengan berbagai jenis soal sesuai tingkatannya. Makin sering berlatih, makin cepat kamu memahami matematika.

    Kamu juga dianjurkan untuk mengikuti kuis atau tes berlatih matematika secara online. Biasanya, di akhir tes ini akan memperlihatkan jawaban yang benar maupun salah sekaligus nilai yang kamu dapatkan. Cara ini efektif memotivasi kamu untuk terus berlatih dan mengasah kemampuan matematika. 

Pelajari Trik Matematika 

    Tips belajar matematika agar cepat paham selanjutnya adalah menguasai trik. Bisa dibilang, trik merupakan cara paling sederhana untuk menyelesaikan soal matematika.  Beberapa trik yang wajib kamu kuasai adalah trik perkalian, menghitung kuadrat, menghitung tip, pembagian, dan persentase. Selain dapat dipelajari sendiri, trik ini biasanya akan diajarkan oleh mentor di kelas kursus matematika.

Belajar Bersama Teman 

    Satu lagi cara efektif untuk mempercepat proses pemahaman matematika, yakni belajar bersama teman. Buatlah kelompok belajar matematika yang berisikan tiga sampai lima orang. Pastikan di dalam kelompok terdapat anak yang lebih unggul dan menguasai matematika. Nantinya, ia akan membantu anggota kelompok lain yang masih kesulitan menyerap pelajaran.

Share:

Read More

Ukuran Penyebaran Data

 

Pengertian

    Ukuran penyebaran data adalah suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya.

Ukuran Penyebaran Data, meliputi:

Jangkauan Data atau Range (R)

Jangkauan Antarkuartil atan Hamparan (H)

Simpangan Kuartil (SK)

Simpangan Rata-rata (SR)

Ragam atau Variansi (S2)

Simpangan Baku atau Standar Deviasi (S)

Q3 = Kuartil ketiga/atas

Q1 = Kuartil kesatu/bawah

𝑥_𝑖 = nilai data ke-i

𝑥̅ = nilai rata-rata

n = banyaknya data

Konsep : Ukuran penyebaran data merupakan ukuran yang menunjukkan seberapa jauh suatu data menyebar dari rata-ratanya.

Rumus    dari      ukuran penyebaran      data     untuk   data tunggal maupun data kelompok adalah sebagai berikut:

Jangkauan atau Rentang atau Range (R)

R = nilai tengah kelas terakhir – nilai tengah kelas          pertama

Atau

R = tepi atas kelas terahir – tepi bawah kelas pertama

Jangkauan Antarkuartil atau Hamparan (H)   

H = Q3 – Q1

Q3 = Kuartil ketiga/atas 

Q1 = Kuartil kesatu/bawah

Simpangan Rata-rata (SR)

Dengan:

𝑥_𝑖 = nilai data ke-i

𝑥̅ = nilai rata-rata

𝑓_𝑖 = frekuensi data ke-i

Ragam atau Variansi (S)

Dengan:

𝑥_𝑖 = nilai data ke-i

𝑥̅ = nilai rata-rata

n = banyaknya data

𝑓_𝑖 = frekuensi data ke-i

Simpangan Baku atau Standar Deviasi (S)  

Dengan S = Variansi atau Ragam

Prosedur    :

· Untuk menghitung ukuran penyebaran data untuk data berkelompok hanya tinggal memasukkan nilai- nilai nya ke dalam rumus yang telah ada.

· Untuk menghitung Simpangan Rata-Rata, Variansi dan Simpangan Baku terlebih dahulu harus menghitung nilai rata-ratanya.

·  Simpangan Baku merupakan akar dari Variansi, jadi untuk menghitung Simpangan Baku harus menghitung variansi terlebih dahulu.

Untuk memahami ukuran penyebaran data, kalian dapat menonton video berikut!

Video Pembelajaran Ukuran Penyebaran Data

Sampai Jumpa...

Share:

Read More