Fungsi Eksponensial

 Pengertian

      Fungsi eksponensial adalah fungsi matematika yang digunakan dalam banyak situasi dunia nyata. Hal ini terutama digunakan untuk menemukan peluruhan eksponensial atau pertumbuhan eksponensial atau untuk menghitung investasi, memodelkan populasi, dan sebagainya. Pada artikel ini, Anda akan mempelajari rumus fungsi eksponensial , aturan, sifat, grafik, turunan, deret eksponensial, dan contohnya.

Apa itu Fungsi Eksponensial?

      Fungsi eksponensial adalah fungsi Matematika yang berbentuk f (x) = a ^x , dimana “x” adalah variabel dan “a” adalah konstanta yang disebut basis fungsi dan harus lebih besar dari 0. Basis fungsi eksponensial yang umum digunakan adalah bilangan transendental e, yang kira-kira sama dengan 2,71828.

Penyelesaian fungsi eksponensial 

    Seperti fungsi pada umumnya, bilangan eksponensial memiliki penyelesaian yang bergantung pada bentuk fungsinya. Berikut adalah rumus penyelesaian fungsi eksponensial:

Rumus Fungsi Eksponensial

     Fungsi eksponensial didefinisikan dengan rumus f(x) = a ^x , dengan variabel input x muncul sebagai eksponen. Kurva eksponensial bergantung pada fungsi eksponensial dan bergantung pada nilai x.

Fungsi eksponensial adalah fungsi matematika penting yang berbentuk

f(x) =a ^x

Dimana a > 0 dan a tidak sama dengan 1.

x adalah bilangan real apa pun.

Jika variabelnya negatif, fungsinya tidak terdefinisi untuk -1 < x < 1.

Di Sini,

"x" adalah variabel

“a” adalah konstanta yang merupakan basis dari fungsi tersebut.

Kurva eksponensial bertambah atau berkurang bergantung pada fungsi eksponensial. Kuantitas apa pun yang bertambah atau berkurang dengan persentase tetap pada interval teratur harus mengalami pertumbuhan eksponensial atau peluruhan eksponensial.

Pertumbuhan Eksponensial

      Dalam Pertumbuhan Eksponensial, kuantitasnya meningkat sangat lambat pada awalnya, dan kemudian dengan cepat. Tingkat perubahan meningkat seiring waktu. Laju pertumbuhan menjadi lebih cepat seiring berjalannya waktu. Pertumbuhan pesat dimaksudkan sebagai “peningkatan eksponensial”. Rumus untuk mendefinisikan pertumbuhan eksponensial adalah:

kamu = a ( 1+ r ) ^x

Dimana r adalah persentase pertumbuhan.

Peluruhan Eksponensial

     Dalam Peluruhan Eksponensial, kuantitasnya berkurang dengan sangat cepat pada awalnya, dan kemudian secara perlahan. Tingkat perubahan menurun seiring waktu. Laju perubahan menjadi lebih lambat seiring berjalannya waktu. Pertumbuhan pesat berarti “penurunan eksponensial”. Rumus untuk mendefinisikan pertumbuhan eksponensial adalah:

kamu = a ( 1- r ) ^x

Dimana r adalah persentase peluruhan.

Grafik Fungsi Eksponensial

Gambar berikut merupakan grafik eksponen x. Dapat dilihat bahwa dengan meningkatnya eksponen, kurva menjadi semakin curam dan laju pertumbuhan pun meningkat. Jadi, untuk x > 1, nilai y = f _n (x) bertambah seiring bertambahnya nilai (n).

    Dari penjelasan di atas terlihat bahwa sifat fungsi polinomial bergantung pada derajatnya. Semakin tinggi derajat suatu fungsi eksponensial , semakin tinggi pula pertumbuhannya. Fungsi yang tumbuh lebih cepat daripada fungsi polinomial adalah y = f(x) = a ^x , dengan a>1. Jadi, untuk sembarang bilangan bulat positif n, fungsi f (x) dikatakan tumbuh lebih cepat dibandingkan fungsi f _n (x).

    Jadi, fungsi eksponensial yang mempunyai basis lebih besar dari 1, yaitu a > 1 didefinisikan sebagai y = f(x) = a ^x . Daerah fungsi eksponensial adalah himpunan seluruh bilangan real R dan jangkauannya dikatakan himpunan semua bilangan real positif.

Perlu diperhatikan bahwa fungsi eksponensial meningkat dan titik (0, 1) selalu terletak pada grafik fungsi eksponensial. Selain itu, mendekati nol jika nilai x sebagian besar negatif.

Fungsi eksponensial yang mempunyai basis 10 disebut fungsi eksponensial persekutuan. Perhatikan rangkaian berikut ini:

Nilai deret ini terletak antara 2 & 3. Diwakili oleh e. Dengan menggunakan e sebagai basis dari fungsi tersebut, kita mendapatkan y = e ^x , yang merupakan fungsi yang sangat penting dalam matematika yang dikenal sebagai fungsi eksponensial natural.

Untuk a > 1, logaritma b ke basis a adalah x jika a ^x = b. Jadi, log _a b = x jika a ^x = b. Fungsi ini dikenal sebagai fungsi logaritma.

Untuk basis a = 10, fungsi ini disebut logaritma persekutuan dan untuk basis a = e, dikenal sebagai logaritma natural yang dilambangkan dengan ln x. Berikut beberapa pengamatan penting mengenai fungsi logaritma yang mempunyai basis a>1.

• Domain fungsi log hanya terdiri dari bilangan real positif , karena kita tidak dapat menafsirkan arti fungsi log untuk nilai negatif.
• Untuk fungsi log, walaupun domainnya hanya himpunan bilangan real positif, rangenya adalah himpunan semua nilai real, yaitu R
• Saat kita memplot grafik fungsi log dan berpindah dari kiri ke kanan, fungsi tersebut menunjukkan perilaku yang meningkat.
• Grafik fungsi log tidak pernah memotong sumbu x atau sumbu y, meskipun cenderung ke arahnya.

• Log _a p = α, log _b p = β dan log _b a = µ, maka a ^α = p, b ^β = p dan b ^µ = a
• Log _b pq = Log _b p + Log _b q
• Log _b p ^y = ylog _b p
• Log _b (p/q) = log _b p – log _b q

Turunan Fungsi Eksponensial

Sekarang mari kita fokus pada turunan fungsi eksponensial.

Turunan e ^x  terhadap x adalah e ^x , yaitu d( ^ex )/dx = e ^x

Diketahui bahwa fungsi eksponensial f(x) =e ^x   mempunyai sifat khusus. Artinya turunan suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri.

(yaitu) f '(x) = e ^x  = f(x)

Seri Eksponensial

Deret eksponensial diberikan di bawah ini.

Properti Fungsi Eksponensial

Grafik eksponensial suatu fungsi mewakili sifat fungsi eksponensial.

Mari kita perhatikan fungsi eksponensial, y = 2 ^x

Grafik fungsi y = 2 ^x ditunjukkan di bawah ini.

Grafik Fungsi Eksponensial untuk y = 2 ^x

Sifat-sifat grafik fungsi eksponensial jika basisnya lebih besar dari 1 diberikan di bawah ini.

• Grafik melewati titik (0,1).
• Domainnya semua bilangan real
• Kisarannya adalah y>0
• Grafiknya semakin meningkat
• Grafiknya asimtotik terhadap sumbu x karena x mendekati tak terhingga negatif
• Grafiknya bertambah tanpa batas ketika x mendekati tak terhingga positif
• Grafiknya kontinu
• Grafiknya mulus

Grafik Fungsi Eksponensial y=2 ^-x 

Grafik fungsi y=2 ^-x ditunjukkan di atas. Sifat-sifat fungsi eksponensial dan grafiknya jika basisnya antara 0 dan 1 diberikan.

• Garis melewati titik (0,1)
• Domain mencakup semua bilangan real
• Kisarannya adalah y>0
• Ini membentuk grafik menurun
• Garis pada grafik di atas tidak menunjukkan gejala terhadap sumbu x karena x mendekati positif tak terhingga
• Garis bertambah tanpa batas ketika x mendekati tak terhingga negatif
• Ini adalah grafik kontinu
• Ini membentuk grafik yang halus

Aturan Fungsi Eksponensial

Beberapa aturan eksponensial penting diberikan di bawah ini:

Jika a>0 dan b>0, maka persamaan berikut ini berlaku untuk semua bilangan real x dan y:

·         ax ^ay  = ^ax + y

·         ax /ay ^= ax - ^y

·         (a ^x ) ^y = a ^xy

·         axbx ⁼ ( ab ^) x

·         (a/b) ^x = ^ax / ^bx

·         sebuah ⁰ =1

·         a ^-x = 1/ ^ax

Contoh Fungsi Eksponensial

Contoh fungsi eksponensial adalah:

• f(x) = ^2x
• f(x) = 1/ 2 ^x  = 2 ^-x
• f(x) = 2 ^x+3

f(x) = ^0,5x

Share: